[latexpage]

Powierzchnię algebraiczną można zdefiniować jako zbiór miejsc zerowych niestałego wielomianu trzech zmiennych. Choć wielomiany są bardzo prostymi funkcjami, to powierzchnie algebraiczne bywają tworami niezwykle skomplikowanymi. W ramach tego plakatu przedstawiliśmy najważniejsze definicje, wygenerowaliśmy grafiki i prostych, i bardziej skomplikowanych powierzchni oraz zaprezentowaliśmy schemat ewolucji powierzchni algebraicznej.

Powierzchnia algebraiczna

Niech F będzie niestałym wielomianem trzech zmiennych. Powierzchnię algebraiczną będziemy definiować jako zbiór punktów (x,y,z) spełniających warunek F(x,y,z)=0.

W dalszej części plakatu zmienne wielomianu będą liczbami rzeczywistymi, dzięki czemu powierzchnie algebraiczne uda się nam przedstawić w przestrzeni trójwymiarowej. Jednakże warto pamiętać o tym, że nic stoi na przeszkodzie, by zamiast liczb rzeczywistych użyć zespolonych. Czyni to sytuację bardziej skomplikowaną, ponieważ by wtedy w pełni narysować rozważaną powierzchnię, musielibyśmy działać w przestrzeni sześciowymiarowej, co mogłoby stwarzać pewne problemy.

Ewolucja powierzchni algebraicznej

Teraz weźmy pod uwagę powierzchnię algebraiczną x^2+y^2+t*z^2-t-1/4=0, [latexpage] At first, we sample $f(x)$ in the $N$ ($N$ is odd) equidistant points around $x^*$: \[ f_k = f(x_k),\: x_k = x^*+kh,\: k=-\frac{N-1}{2},\dots,\frac{N-1}{2} \] [/latexpage]   zdefiniowaną z dodatkowym parametrem t. Będzie on oznaczał upływ czasu. Poniżej przedstawiany schemat pokazuje jak rozważana powierzchnia drastycznie zmienia się ze względu na upływ czasu. Od nieograniczonej i niespójnej powierzchni, staje się ona spójna, by na końcu zostać ograniczoną „sferopodobną” powierzchnią algebraiczną. Warto jednak zauważyć, że pomimo całkowitych zmian liczba punktów osobliwych uległa zmianie tylko raz, dla  t=-1/4.
At first, we sample $f(x)$ in the $N$ ($N$ is odd) equidistant points around $x^*$: